Question

在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點，點，如圖所示：拋物線經過點。

（1）求點的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點（點除外），使仍然是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）
（3）點與點都在拋物線上

解：（1）過點作軸，垂足為，


；    
又，
，……（2分）

點的坐標為；……（2分）
（2）拋物線經過點，則得到，  
解得，
所以拋物線的解析式為；……（2分）
（3）假設存在點，使得仍然是以為直角邊的等腰直角三角形：
若以點為直角頂點；
則延長至點，使得，得到等腰直角三角形，
過點作軸，
；

，可求得點；    ……（3分）
若以點為直角頂點；
則過點作，且使得，得到等腰直角三角形，
過點作軸，同理可證；
，可求得點；
經檢驗，點與點都在拋物線上。……（3分）