Question

【題目】定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點.

請解決下列問題：

（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN>MN>AM.若AM=2，MN=3，求BN的長；

（2）如圖2，若點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC>DE>BD，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①當MN為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出BN即可；

（2）先證出點M、N分別是AD、AE的中點，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC2=BD2+DE2，得出NG2=FM2+MN2，即可得出結論

試題解析：(1)∵點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN>MN>AM, AM=2，MN=3

∴

∴BN=

(2)證明 ∵點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點

∴FM、MN、NG分別是△ABD、△ADE、△AEC的中位線

∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG

∵點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC>DE>BD

∴

∴

∴

∴點M，N是線段FG的勾股分割點