Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線與
⊙O的交點為D，DE⊥AC，與AC的延長線交于點E．

小題1:（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
小題2:（2）若OE與AD交于點F，，求的值．

Answer 1

小題1:（1）證明：連接OD．（如圖6）
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分
∵ OA=OD，                      
∴ ∠1=∠3．
             ∴ ∠2=∠3．
∴ OD∥AE．
∵ DE⊥AC，
∴ ∠AED=90°．
∴ ．…………2分
∴ DE⊥OD．
∵ OD是⊙O的半徑，
∴ DE是⊙O的切線．
小題2:（2）解：作OG⊥AE于點G．（如圖6）
∴ ∠OGE=90°．
∴ ∠ODE=∠DEG=∠OGE=90°．
∴ 四邊形OGED是矩形．
∴ OD=GE．……………………………………………………………………4分
在Rt△OAG中，∠OGA=90°，，設AG=4k，則OA=5k．
∴ GE=OD =5k．
∴ AE=AG+GE=9k．
∵ OD∥GE，
∴ △ODF∽△EAF．
∴ ．

略