Question

某過街天橋的截面圖形為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為：i=1：

3

（i=1：

3

是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比），CD的長為10m，天橋另一斜面AB的坡角∠ABG=45°
（1）寫出過街天橋斜面AB的坡度；
（2）求DE的長；
（3）若決定對該天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°，方便過路群眾，改建后斜面為AF，試計算此改建需占路面的寬度FB的長．（結果精確到0.01）

Answer 1

分析：（1）坡度為坡角的正切值，由此可求出坡面AB的坡度；
（2）在Rt△CED中，根據坡比可求出坡角的度數，進而由坡角的正弦函數求出DE的長；
（3）分別在Rt△AFG和Rt△AGB中，根據坡角的度數和鉛直高AG的長求出水平寬FG、BG的長，進而可由FB=FG-BG求得FB的長．

解答：解：（1）在Rt△AGB中，∠ABG=45°，
∴AG=BG．
∴AB的坡度=

AG

BG

=1；（2分）

（2）在Rt△DEC中，
∵tan∠C=

DE

EC

=

3

3

，
∴∠C=30°．
又∵CD=10，
∴DE=

1

2

CD=5（m）；（5分）

（3）由（1）知AG=BG=5．
在Rt△AFG中，∠AFG=30°，
tan∠AFG=

AG

FG

，
即

3

3

=

5

FB+5

，（7分）
解得FB=5

3

-5≈3.66．                        （10分）
答：改建后需占路面寬度約為3.66m．             （11分）

點評：此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力．需注意的是坡度（即坡比）是坡角的正切函數，不要混淆概念．