Question

已知，平面直角坐標系上有A（a，0）、B（0，-b）、C（b，0）三點，且a≥b＞0，拋物線y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）． （m，n為常數，且m+2≥2n＞0），經過點A和點C，頂點為P
（1）當m，n滿足什么關系時，S_△AOB最大；
（3）如圖，當△ACP為直角三角形時，判斷以下命題是否正確：“直角三角形DEF的三個頂點都在這條拋物線上，且DF∥x軸，那么△ACP與△DEF斜邊上的高相等”，如果正確請予以證明，不正確請舉出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m），將其變形得：y=（x-n）（x+n-m-2），又由m+2≥2n＞0與拋物線經過點A和點C，則可求得a與b的值；可得S_△AOB=ab=（m+2-n）n，則可得當m+2=2n時，S_△AOB最大；
（2）由當△ACP是直角三角形時，AP⊥CP，且|AC|等于P點到x軸距離的2倍與拋物線y=（x-n）（x+n-m-2），可得頂點必然在x軸下方，則可得[（m+2）-2n][（m+2）-（2n+2）]=0，可得A、C不會是同一點，即可得m=2n，代回原方程求得點A（n+2，0），點C（n，0），點P（n+1，-1），然后假設命題成立，由DE∥x軸，令D、E的縱坐標均為y=b，則可求的兩點的坐標分別為：D（n+1-，b），E（n+1+，b），設點F坐標為（x，y），即可求得y的值，求得F到斜邊DE的距離為b-（b-1）=1，這與P到斜邊AC距離一樣，即可證得原命題是正確的．
解答：解：（1）∵y=（x-2）（x-m）-（n-2）（n-m）=（x-n）（x+n-m-2），
又∵m+2≥2n，即m+2-n≥n，
∴點（m+2-n，0）在點（n，0）右邊．
又拋物線過A點和C點，
∴a=m+2-n，b=n，
∵S_△AOB=ab=（m+2-n）n≤[（m+2-n）+n]²=（m+2）²，
當且僅當m+2-n=n時取“=”，此時m+2=2n，
當m+2=2n時，S_△AOB最大；

（2）命題正確．
理由：∵當△ACP是直角三角形時，AP⊥CP，且|AC|等于P點到x軸距離的2倍．
又∵拋物線y=（x-n）（x+n-m-2）=[x-（m+2）]²-（m+2）²+n（m+2-n），
∴頂點必然在x軸下方，
∴由 2[（m+2）²-n（m+2-n）]=（m+2-n）-n，
化簡得：[（m+2）-2n][（m+2）-（2n+2）]=0，
顯然A、C不會是同一點，
∴m+2-n＞n，即（m+2）-2n＞0，
∴（m+2）-（2n+2）=0，
得：m=2n，
代回原方程有y=（x-n）（x-n-2），
∴點A（n+2，0），點C（n，0），點P（n+1，-1）．
假設命題成立，
∵DE∥x軸，
∴點F為Rt△DEF的直角．
令D、E的縱坐標均為y=b，則可求的兩點的坐標分別為：D（n+1-，b），E（n+1+，b）．
設點F坐標為（x，y），
∵DF⊥EF，
∴有•=-1，
化簡得（x-n-1）²+（y-b）²=b+1，
又（x，y）滿足y=（x-n）（x-n-2）=[（x-n-1）+1][（x-n-1）-1]=（x-n-1）²-1，
聯立兩式消去x化簡得：y²+（1-2b）y+（b²-b）=0，
求得y=b或b-1，舍去y=b，故y=b-1，
∴F到斜邊DE的距離為b-（b-1）=1，這與P到斜邊AC距離一樣．
綜合上述：命題是正確的．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，配方法解一元二次方程，直角三角形的性質以及點到直線的距離等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．