Question

【題目】如圖，AB是半徑為2的⊙O的弦，將沿著弦AB折疊，正好經過圓心O，點C是折疊后的上一動點，連接并延長BC交⊙O于點D，點E是CD的中點，連接AC，AD，EO．則下列結論：①∠ACB=120°，②△ACD是等邊三角形，③EO的最小值為1，其中正確的是_____．（請將正確答案的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據折疊的性質可知，結合垂徑定理、三角形的性質、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質等可以判斷①②是否正確，EO的最小值問題是個難點，這是一個動點問題，只要把握住E在什么軌跡上運動，便可解決問題．

如圖1，連接OA和OB，作OF⊥AB．
由題知： 沿著弦AB折疊，正好經過圓心O
∴OF=OA= OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°（同弧所對圓周角相等）
∠D=∠AOB=60°（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等邊三角形（有兩個角是60°的三角形是等邊三角形）
故，①②正確

下面研究問題EO的最小值是否是1

如圖2，連接AE和EF
∵△ACD是等邊三角形，E是CD中點
∴AE⊥BD（三線合一）
又∵OF⊥AB
∴F是AB中點
即，EF是△ABE斜邊中線
∴AF=EF=BF
即，E點在以AB為直徑的圓上運動．
所以，如圖3，當E、O、F在同一直線時，OE長度最小
此時，AE=EF，AE⊥EF
∵⊙O的半徑是2，即OA=2，OF=1
∴AF= （勾股定理）
∴OE=EF-OF=AF-OF=-1
所以，③不正確
綜上所述：①②正確，③不正確．
故答案是：①②．