Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分別是BC、AD的中點，連接AE、CF．

求證：四邊形AECF是矩形．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：根據菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后判斷出△ABC是等邊三角形，然后根據等腰三角形三線合一的性質可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根據菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可得證．

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是BC的中點，

∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一），

∴∠AEC=90°，

∵E、F分別是BC、AD的中點，

∴AF=AD，EC=BC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

又∵∠AEC=90°，

∴四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．