Question

【題目】閱讀情境：在綜合實踐課上，同學們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”

如圖1，，其中，，此時，點與點重合，

操作探究1:（1）小凡將圖1中的兩個全等的和按圖2方式擺放，點落在上，所在直線交所在直線于點，連結，求證：．

操作探究2:（2）小彬將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉角度，然后，分別延長，，它們相交于點．如圖3，在操作中，小彬提出如下問題，請你解答：

①時，求證：為等邊三角形；

②當__________時，．（直接回答即可）

操作探究3:（3）小穎將圖1中的繞點按順時針方向旋轉角度，線段和相交于點，在操作中，小穎提出如下問題，請你解答：

①如圖4，當時，直接寫出線段的長為_________．

②如圖5，當旋轉到點是邊的中點時，直接寫出線段的長為____________．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）①；②

【解析】

（1）證明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解決問題．
（2）①證明∠FCE=∠FEC=60°即可解決問題．
②根據平行線的判定定理即可解決問題．
（3）①連接EC，證明△AEC是等邊三角形，利用勾股定理求出AE即可解決問題．
②如圖5中，連接AF，BD交于點O．首先證明EC=BD，再證明OB=OD，利用面積法求出OB即可解決問題．

（1）證明：如圖2，

，，，

，

．

（2）①證明：如圖3中，

，，

，

，

，

，

是等邊三角形．

②解：當時，．理由如下：

∵，

∴，

，

∴，

當時，．

故答案為．

（3）①解：如圖4中，連接,

，，

是等邊三角形，

，，

，

．

故答案為．

②解：如圖5中，連接，交于點．

，，，

，

，

，

，

，

，

，，

，

．

，，

垂直平分線段，

，

在中，

，，，

，

，

，

，

，

故答案為．