Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分別為AB、AD的中點，聯結EF、EC、BF、CF．

（1）四邊形AECD的形狀是        ；
（2）若CD=2，求CF的長．

Answer 1

解：（1）四邊形AECD的形狀是 平行四邊形      
（2）∵四邊形AECD是平行四邊形，∴AE=CD=2，
∵E是AB的中點，∴AE=EB=2，AB=4.    
∵四邊形AECD是平行四邊形，∴EC∥AD，
∴∠BEC=∠A=60°.
∴EC=4，BC=.
∴ AD=EC=4，          
∵F是AD的中點，∴AF=2，
∴△AEF是等邊三角形，∴EF=2                   
∴∠FEC=60°
可證△ECF≌△ECB               
∴FC=BC=.  

（1）四邊形AECD為平行四邊形，理由為：由E為AB的中點，得到AE=BE=AB，又AB=2CD，即CD=AB，可得出DC=AE，又DC平行于AE，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可得出AECD為平行四邊形；
（2）由AECD為平行四邊形且DC=2，得到AE=2，由E為AB的中點，得到AE=BE=2，可得出AB=4，又根據平行四邊形的對邊平行，得到EC與AD平行，再利用兩直線平行同位角相等，由∠A為60°得到∠CEB為60°，在直角三角形EBC中，求出∠ECB為30°，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據EB的長求出EC的長，利用勾股定理求出BC的長，再由平行四邊形的對邊相等可得出AD=CE，求出AD的長，又F為AD的中點，求出AF=2，可得出三角形AFE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠AEF為60°，又∠CEB為60°，利用平角的定義求出∠FEC為60°，即∠FEC=∠BEC，再由EF=EB，及公共邊EC，利用SAS可得出三角形CFE與三角形CBE全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出CF=CB，由CB的長即可得到CF的長．