Question

【題目】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC內部或BC邊上的一個動點（與B、C不重合），以D為頂點作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度數；

（2）若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH．

①如圖1，連接GH、AD，當GH⊥AD時，請判斷四邊形AGDH的形狀，并證明；

②當四邊形AGDH的面積最大時，過A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）①四邊形AGDH為正方形，理由詳見解析；②k=．

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件，由勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，即可證得結論；（2）①先判斷AB∥DE，DF∥AC，得到平行四邊形，再判斷出是正方形；②先判斷面積最大時點D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8﹣GA，得到S矩形AGDH=﹣AG2+8AG，確定極值，AG=3時，面積最大，最后求k得值．

試題解析：（1）∵AB2+AC2=100=BC2，

∴∠BAC=90°，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠D=∠BAC=90°，

（2）①四邊形AGDH為正方形，

理由：如圖1，

延長ED交BC于M，延長FD交BC于N，

∵△DEF∽△ABC，

∴∠B=∠C，

∵EF∥BC，

∴∠E=∠EMC，

∴∠B=∠EMC，

∴AB∥DE，

同理：DF∥AC，

∴四邊形AGDH為平行四邊形，

∵∠D=90°，

∴四邊形AGDH為矩形，

∵GH⊥AD，

∴四邊形AGDH為正方形；

②當點D在△ABC內部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，

理由：如圖2，

點D在內部時（N在△ABC內部或BC邊上），延長GD至N，過N作NM⊥AC于M，

∴矩形GNMA面積大于矩形AGDH，

∴點D在△ABC內部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，

只有點D在BC邊上時，面積才有可能最大，

如圖3，

點D在BC上，

∵DG∥AC，

∴△BGD∽△BAC，

∴，

∴，

∴，

∴AH=8﹣GA，

S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣AG）=﹣AG2+8AG，

當AG=﹣=3時，S矩形AGDH最大，此時，DG=AH=4，

即：當AG=3，AH=4時，S矩形AGDH最大，

在Rt△BGD中，BD=5，

∴DC=BC﹣BD=5，

即：點D為BC的中點，

∵AD=BC=5，

∴PA=AD=5，

延長PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，

∴QP⊥BC，

∴PQ是EF，BC之間的距離，

∴D是EF的距離為PQ的長，

在△ABC中，AB×AC=BC×AQ

∴AQ=4.8

∵△DEF∽△ABC，

∴k=．