Question

【題目】如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，AC為其對角線，∠ABC=60°點M、N分別是邊BC、邊CD上的動點，且MB=NC．連接AM、AN、MN．MN交AC于點P．

（1）△AMN是什么特殊的三角形？說明理由．并求其面積最小值；
（2）求點P到直線CD距離的最大值；

（3）如圖2，已知MB=NC=1，點E、F分別是邊AM、邊AN上的動點，連接EF、PF，EF+PF是否存在最小值？若存在，求出最小值及此時AE、AF的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△AMN為等邊三角形，；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）△AMN是等邊三角形，AM⊥BC時面積最小．只要證明△AMB≌△ANC，推出AM=AN，∠BAM=∠CAN即可解決問題．
（2）如圖2中，當AM⊥BC時，點P到CD距離最大．作PE⊥CD于E．
（3）如圖3中，作點P關于AN的對稱點為K，過點K做AM的垂線，交AN為F，交AM為E，此時，EF+PF最短，連接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．首先求出AM、AG的長，再證明△AGP≌△KEA，推出KE=AG即可．

解：（1）△AMN為等邊三角形；

如圖1中，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形
在△AMB和△ANC中，
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN為等邊三角形，
當AM⊥BC時，△AMN的邊長最小，面積最小，
此時AM=MN=AN=
（2）如圖2中，

當AM⊥BC時，點P到CD距離最大．作PE⊥CD于E．
理由：由（1）可知△AMN是等邊三角形，
當AM⊥BC時，△AMN的邊長最小，此時PA長最小，PC的長最大，點P到直線CD距離的最大，
∵BM=MC=2，∠CMP=30°，∠MPC=90°，
∴PC=MC=1，
在Rt△PCE中，∵∠CPE=30°，PC=1，
∴EC=PC=，
∴PE=．
∴點P到直線CD距離的最大值為；
（3）如圖3中，作點P關于AN的對稱點為K，過點K做AM的垂線，交AN為F，交AM為E，此時，EF+PF最短，由于對稱，PF=KF，EF為垂線段（垂線段最短）．

連接AK、作AG⊥MN于G，MH⊥AB于H．
在Rt△BMH中，∵BM=1，∠BMH=30°，
∴BH=，HM=，
∴，
∵△AMN是等邊三角形，
∴AG=．
∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC，
∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°，∠NAP+∠ANP+∠APN=180°，∠ANP=∠PCM=60°，∠APN=∠CPM，
∴∠CMP=∠NAP=∠NAK，
∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK，
∴∠APG=∠EAK，
∵∠AGP=∠AEK=90°，AP=AK，
∴△AGP≌△KEA，
∴KE=AG=．
∴EF+PF的最小值為，
∵∠PCN=∠PCM，
∴，
∴PN=，
∴AE=PG=GN-PN=，
∵在Rt△AFE中，∠AFE=30°，∴AF=2AE，
∴AF=．