Question

如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的圖象經過點A（﹣2，0），
∴，解得：。
∴拋物線解析式為。
又∵，
∴對稱軸方程為：x=3。
（2）在中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即，整理得x²﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2。
∴A（﹣2，0），B（8，0）。
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：
，解得。
∴直線BC的解析式為：。
（3）可判定△AOC∽△COB成立。理由如下：
在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴。
又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB。
（4）存在。
∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，∴可設點Q（3，t），則可求得：
。
①當AQ=CQ時，有，即25+t²=t²﹣8t+16+9，解得t=0。
∴Q₁（3，0）。
②當AC=AQ時，有，即t²=﹣5，此方程無實數根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形。
③當AC=CQ時，有，整理得：t²﹣8t+5=0，解得：。
∴點Q坐標為：Q₂（3，），Q₃（3，）。
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q₁（3，0），Q₂（3，），Q₃（3，）

解析