Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，對稱軸與拋物線相交于點M，與x軸相交于點N．點P是線段MN上的一動點，過點P作PE⊥CP交x軸于點E．

（1）直接寫出拋物線的頂點M的坐標是 ．
（2）當點E與點O（原點）重合時，求點P的坐標．
（3）點P從M運動到N的過程中，求動點E的運動的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）M（1，4）
（2）解：當點E與O重合時，EN=1，設PN=m，
過點C作CF⊥MN，垂足為F，如圖1，

∵∠EPC=90°，
∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，
∴∠CPF=∠PEN，
∴△ENP∽△PFC
∴ ，即： ，
解得：m=
∴點P的坐標為：（1， ）或（1， ）
（3）解：①當點P與M重合時，如圖2，

由△ENM∽△MFC可知， ，
∴EN=4，
即當點P從M運動到F時，點E運動的路徑長EN為4；
②當點P從F運動到N時，點E從點N向左運動到某最遠點后，回到點N結束．如圖3，

設EN=y，PN=x，
由△ENP∽△PFC可知， ，即： ，
∴y= ，
當x= 時，y有最大值，為 ；
∴E的運動的路徑長為： ．
【解析】拋物線的頂點M的坐標是M（1，4）