Question

如圖，在同一平面內(nèi)將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AFG=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）
（1）求證：△ABE∽△DCA．
（2）若BD=，求CE．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；

（2）解：∵△ABE∽△DCA，
∴=，
由依題意可知CA=BA=，
∴=，
∴=，
∴=，
解得CE=．
分析：（1）由圖形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根據(jù)∠B=∠C=45°，證明兩個三角形相似；
（2）由勾股定理，得CA=BA=，由（1）的相似三角形的性質(zhì)，利用相似比即可求出CE．
點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．關鍵是通過圖形的旋轉，將條件“相對集中”．