Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 是邊長為 2，一個銳角等于 60°的菱形紙片，將一個∠EDF=60°的三角形紙片的一個頂點與該菱形頂點 D 重合，按順時針方向旋轉這個三角形紙片，使它的兩邊分別交 CB，BA（或它們的延長線）于點 E， F；

①當 CE=AF 時，如圖①，DE 與 DF 的數量關系是 ；

②繼續旋轉三角形紙片，當 CE≠AF 時，如圖②，（1）的結論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；

③再次旋轉三角形紙片，當點 E，F 分別在 CB，BA 的延長線上時，如圖③， 請直接寫出 DE 與 DF 的數量關系．

Answer 1

【答案】(1) DE=DF；(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）證明△DAF≌△DCE（SAS）即可判斷；(2)由菱形的性質得到△ABD 是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE 即可；(3)由菱形的性質得到△ABD 是等邊三角形，再證明△ADF≌△BDE 即可；

（1）DE=DF；

理由：∵四邊形 ABCD 是菱形，

∴DA=DC，∠A=∠C，

∵AF=CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS），

∴DE=DF．

(2)成立．

理由：連接 BD．

∵四邊形 ABCD 是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠DAB=60°，

∴△ABD 是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，

∴∠DBE=∠DAF=60°．

∵∠EDF=60°，

∴∠ADB=∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DE=DF．

(3)結論：DF=DE．

理由：如圖 3，連接 BD．

∵四邊形 ABCD 是菱形，

∴AD=AB．

又∵∠A=60°，

∴△ABD 是等邊三角形，

∴AD=BD，∠ADB=60°，同法可證∠DBC=60°，

∴∠DBE=∠DAF=120°

∵∠EDF=ADB=60°，

∴∠ADF=∠BDE，

∴△ADF≌△BDE（ASA），

∴DF=DE.