Question

【題目】已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉60°，如題圖1，連接BC．

（1）填空：∠OBC=　 　°；

（2）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；

（3）如圖2，點M，N同時從點O出發，在△OCB邊上運動，M沿O→C→B路徑勻速運動，N沿O→B→C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設運動時間為x秒，△OMN的面積為y，求當x為何值時y取得最大值？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）.

【解析】

（1）只要證明△OBC是等邊三角形即可；

（2）求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計算即可；

（3）分三種情形討論求解即可解決問題：①當0＜x≤時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E．②當＜x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動．

③當4＜x≤4.8時，M、N都在BC上運動，作OG⊥BC于G．

（1）由旋轉性質可知：OB=OC，∠BOC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°，

故答案為：60；

（2）∵OB=4，∠ABO=30°，

∴OA=OB=2，AB=OA=2，

∴S△AOC=OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC==2，

∴OP=；

（3）①當0＜x≤時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NE⊥OC且交OC于點E，如圖，

則NE=ONsin60°=x，

∴S△OMN=OMNE=×1.5x×x，

∴y=x2，

∴x=時，y有最大值，最大值=；

②當＜x≤4時，M在BC上運動，N在OB上運動，

如圖，作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°=（8﹣1.5x），

∴y=×ON×MH=﹣x2+2x，

當x=時，y取最大值，y＜；

③當4＜x≤4.8時，M、N都在BC上運動，作OG⊥BC于G，如圖，

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，

∴y=MNOG=12﹣x，

當x=4時，y有最大值，最大值=2，

綜上所述，y有最大值，最大值為．