Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是AB上的點，且DE=CE，DE⊥CE，
（1）證明：AB=AD+BC．
（2）若已知AB=a，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）證明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
又AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠AED=∠BCE，
又AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠A=∠B=90°，
在△AED和△CBE中，
，
∴△AED≌△CBE（AAS），
∴AD=EB，AE=BC，
則AB=AE+EB=BC+AD；
（2）由AB=a，及（1）得：AB=BC+AD=a，
則S_{直角梯形ABCD}=AB•（BC+AD）=a²．
分析：（1）由DE垂直于EC，得到一個角為直角，利用平角的定義得到一對角互余，又三角形BEC為直角三角形，根據直角三角形的兩銳角互余得到一對角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等及DE=CE，利用AAS可得出三角形AED與三角形BCE全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AD=EB，AE=BC，由AB=AE+EB，等量代換可得證；
（2）由第一問的結論AB=AD+BC，根據AB=a，得出此直角梯形的上下底之和為a，高為a，利用梯形的面積公式即可求出梯形ABCD的面積．
點評：此題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質，以及梯形的面積公式，利用了轉化的思想，靈活運用全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵，本題在做第二問時注意運用第一問的結論．