Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的象經過A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點M及點C的坐標；
（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因為二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）

所以，可建立方程組： ，

解得：

所以，所求二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3，

所以，頂點M（1，4），點C（0，3）

（2）

解：直線y=kx+d經過C、M兩點，

所以 ，

即k=1，d=3，

直線解析式為y=x+3．

令y=0，得x=﹣3，

故D（﹣3，0）

∴CD= ，AN= ，AD=2，CN=2

∴CD=AN，AD=CN（2分）

∴四邊形CDAN是平行四邊形

（3）

解：假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，

因為這個二次函數的對稱軸是直線x=1，

故可設P（1，y0），

則PA是圓的半徑且PA2=y02+22，

過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．

由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，

故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，y0）得PE=y0，PM=|4﹣y0|， ，

由PQ2=PA2得方程： ，

解得 ，符合題意，

所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1， ）或（1， ）

【解析】（1）根據題意將點A，B，N的坐標代入函數解析式，組成方程組即可求得；（2）求得點C，M的坐標，可得直線CM的解析式，可求得點D的坐標，即可得到CD= ，AN= ，AD=2，CN=2，根據平行四邊形的判定定理可得四邊形CDAN是平行四邊形；（3）假設存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，因為這個二次函數的對稱軸是直線x=1，故可設P（1，y0），則PA是圓的半徑且PA2=y02+22 ， 過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，繼而求得滿足題意的點P存在，其坐標為（1， ）或（1， ）．