Question

Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與AB邊交于點E（2，n），△BDE的面積為2．
（1）求m與n的數(shù)量關系；
（2）當tan∠A=時，求反比例函數(shù)的解析式和直線AB的表達式；
（3）設直線AB與y軸交于點F，點P在射線FD上，在（2）的條件下，如果△AEO與△EFP相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將D（4，m）、E（2，n）代入反比例函數(shù)解析式，進而得出n，m的關系；
（2）利用△BDE的面積為2，得出m的值，進而得出D，E，B的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)關系式即可；
（3）利用△AEO與△EFP 相似存在兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．
解答：解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴
整理，得n=2m．；

（2）如圖1，過點E作EH⊥BC，垂足為H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=，
EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面積為2，
所以．
解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因為點D（4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，
所以k=4．
因此反比例函數(shù)的解析式為．    
設直線AB的解析式為y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得
解得：．
因此直線AB的函數(shù)解析式為． 

（3）因為直線與y軸交于點F（0，1），點D的坐標為（4，1），
所以FD∥x軸，∠EFP=∠EAO．
因此△AEO與△EFP 相似存在兩種情況：
①如圖2，當時，
解得FP=1．此時點P的坐標為（1，1）．
②如圖3，當時，．
解得FP=5．
此時點P的坐標為（5，1）．
綜上所述，P點坐標為：（1，1），（5，1）．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式和相似三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出△AEO與△EFP相似包括兩種情況是解題關鍵．