Question

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BD⊥BC，交OA于點D．將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；
（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ=1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法代入求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)頂點坐標(biāo)，再利用GH是△BEA的中位線．得出EA=3GH=

4

3

．進(jìn)而得出CF=FM+CM得出答案；
（3）根據(jù)要使四邊形BCPQ的周長最小，可將點C向上平移一個單位，再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點C₁，求出直線BC₁的解析式，以及P、Q兩點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．
則

4a+2b+2=2 9a+3b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3

，
∴y=-

2

3

x2+

4

3

x+2．

（2）由y=-

2

3

x2+

4

3

x+2=-

2

3

(x-1)2+

8

3

．
∴頂點坐標(biāo)為G（1，

8

3

）．
過G作GH⊥AB，垂足為H．
則AH=BH=1，GH=

8

3

-2=

2

3

．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位線．
∴EA=2GH=

4

3

．
過B作BM⊥OC，垂足為M．則MB=OA=AB．
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM=EA=

4

3

．
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=

7

3

．

（3）要使四邊形BCPQ的周長最小，
將B向下平移一個單位至K，取C關(guān)于對稱軸對稱點M．
連接KM交對稱軸于P，將P向上平移1個單位至Q，
可使KP+PM最短．則QPKB為平行四邊形，
QB=PK，
連接CP，軸對稱求出CP=MP，
則CP+BQ最小，
因為CB，QP定值，則四邊形BCPQ周長最短，
∵將點C向上平移一個單位，坐標(biāo)為（3，1），再做關(guān)于對稱軸對稱的對稱點C₁，
∴得點C₁的坐標(biāo)為（-1，1）．
可求出直線BC₁的解析式為y=

1

3

x+

4

3

．
直線y=

1

3

x+

4

3

與對稱軸x=1的交點即為點Q，坐標(biāo)為Q（1，

5

3

）．
∴點P的坐標(biāo)為（1，

2

3

）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題目，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及利用三角形中位線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．