Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BC=3AD，CD=4AD，E、F為兩腰的中點，下面給出四個結論：
①∠BCD=60°           ②∠CED=90°
③△ADE∽△EDC        ④

AE

AB

=

EF

BC

其中正確的有

 

（要求：把正確結論的序號都填上）．

Answer 1

分析：為了解題方便，可以設AD為a，根據條件可知EF為中位線，所以EF=2a且EF∥AD∥BC，依據平行線的性質可以推出△ADE∽△BEC∽△EDC，依據相似三角形的性質推出ED=2a，結合CD=4d的長度，可以知道∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，根據三角形的內角和180°，推出∠DEC=90°，∠EDF=60°，∠ECF=30°，根據勾股定理，可以求出AE、AB、EF、BC的長度，即可看出④錯誤．

解答：解：設AD=a，∵BC=3AD，CD=4AD，
∴BC=3a，DC=4a，
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，E、F為兩腰的中點，
∴AD∥EF∥BC，
∴∠EDF=∠DEF=∠ADE，∠FEC=∠FCE=∠BCE，
∴在△DEC中，∠DEC=90°，
∴△ADE∽△BEC∽△EDC，
∴AD：DE=DE：DC，
∴ED=2a，
∴∠ECF=30°，
∴∠BCD=∠EDF=60°，
∵∠DEC=90°、ED=2a、DC=4a，
∴EC=2

3

a，
∴EB=AE=

3

a，
∴AB=2

3

a，
∵EF=2a，BC=3a，
∴第④項錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定定理和性質，直角梯形的有關性質，直角三角形的相關性質，解題的關鍵在于根據已知條件和相關的性質定理求出各邊的長度，再根據各邊之間的關系解得相關角的度數．