Question

【題目】已知：如圖，⊥，∥，，．點在線段上，聯結，過點作的垂線，與相交于點．設線段的長為．

（1）當時，求線段的長；

（2）設△的面積為，求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；

（3）當△∽△時，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）（2），0 < x ≤ 3（3）4或

【解析】（1）過點作⊥，交的延長線于點．

∵，，PD⊥CD，AD // BC，

∴∠ =∠ =∠ = 90°，

．

∵ // ，

∴．即得 ．

又∵，

，

∴．

又由，得 △∽△．

∴．

于是，由，得 ． （2分）

在△和△中，

得 ，． （1分）

于是，在△中，得 ． （1分）

（2）在Rt△中，由 ，，

得． （1分）

∵△∽△，

∴．

∴． （1分）

在△中，．

∴所求函數解析式為． （2分）

函數的定義域為 0 < x ≤ 3． （1分）

（3）當△∽△時，即得△img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/04/06/13/515cbe93/SYS201904061302267942123906_DA/SYS201904061302267942123906_DA.035.png" width="37" height="17" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />∽△∽△． （1分）

根據題意，當△∽△時，有下列兩種情況：

（ⅰ）當點與點不重合時，可知 ．

由△∽∽△，得．即得．

由△∽△，得．

∴．即得．

∴．

易證得四邊形是矩形，

∴． （2分）

（ⅱ）當點與點重合時，可知 ．

在Rt△中，由，，得．

由△∽△，得．

即得．

解得． （2分）

∴△∽△時，線段的長分別為4或．

（1）過點作⊥，交的延長線于點,證出△∽△，從而得出DE的長，然后根據勾股定理得出PD與DC的長，再根據勾股定理得出PC的長；

（2）先求出PD的長，然后根據△∽△，算出CD的長，再利用三角形面積公式得出它的解析式；

（3）分點P與點B重合不重合兩種情況進行討論。