Question

如圖1，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0，4），點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連接AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當點P運動到點（

3

，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；
（3）是否存在點P，使△OPD的面積等于

3

4

？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．依題意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得點B的坐標．設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把已知坐標代入可求解．
（2）由△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，證明△ABD≌△AOP．AP=AD，∠DAB=∠PAO，∠DAP=∠BAO=60°，△ADP是等邊三角形．利用勾股定理求出DP．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．利用三角函數(shù)求出BG=BD•cos60°，DG=BD•sin60°．然后求出OH，DH，然后求出點D的坐標．
（3）本題分三種情況進行討論，設(shè)點P的坐標為（t，0）：
①當P在x軸正半軸上時，即t＞0時，關(guān)鍵是求出D點的縱坐標，方法同（2），在直角三角形DBG中，可根據(jù)BD即OP的長和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達式，即可求出DH的長，根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個關(guān)于t的方程，即可求出t的值．
②當P在x軸負半軸，但D在x軸上方時．即-

4 3

3

＜t≤0時，方法同①類似，也是在直角三角形DBG用BD的長表示出DG，進而求出GF的長，然后同①．
③當P在x軸負半軸，D在x軸下方時，即t≤-

4 3

3

時，方法同②．
綜合上面三種情況即可求出符合條件的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點B作BE⊥y軸于點E，作BF⊥x軸于點F．由已知得：
BF=OE=2，OF=

42-22

=2

3

，
∴點B的坐標是（2

3

，2）
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b（k≠0），則有

4=b 2=2 3 k+b

．
解得

k=- 3 3 b=4

．
∴直線AB的解析式是y=-

3

3

x+4；

（2）如圖2，∵△ABD由△AOP旋轉(zhuǎn)得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等邊三角形，
∴DP=AP=

42+( 3 )2

=

19

．
如圖2，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．
方法（一）
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．
∴BG=BD•cos60°=

3

×

1

2

=

3

2

．
DG=BD•sin60°=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴OH=EG=

5

2

3

，DH=

7

2

∴點D的坐標為（

5

2

3

，

7

2

）
方法（二）
易得∠AEB=∠BGD=90°，∠ABE=∠BDG，∴△ABE∽△BDG，
∴

BG

AE

=

DG

BE

=

BD

AB

；而AE=2，BD=OP=

3

，BE=2

3

，AB=4，
則有

BG

2

=

DG

2 3

=

3

4

，解得BG=

3

2

，DG=

3

2

；
∴OH=

5

2

3

，DH=

7

2

；
∴點D的坐標為（

5

2

3

，

7

2

）．

（3）假設(shè)存在點P，在它的運動過程中，使△OPD的面積等于

3

4

．
設(shè)點P為（t，0），下面分三種情況討論：
①當t＞0時，如圖，BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

，t2=

- 21 -2 3

3

（舍去）
∴點P₁的坐標為（

21 -2 3

3

，0）．
②∵當D在x軸上時，根據(jù)勾股定理求出BD=

4 3

3

=OP，
∴當-

4 3

3

＜t≤0時，如圖，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴GH=BF=2-（-

3

2

t）=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴-

1

2

t(2+

3

2

t)=

3

4

，
解得t1=-

3

3

，t2=-

3

，
∴點P₂的坐標為（-

3

3

，0），點P₃的坐標為（-

3

，0）．
③當t≤-

4 3

3

時，如圖3，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，

∴DH=-

3

2

t-2．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

（-t）【-（2+

3

2

t）】=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

（舍去），t2=

- 21 -2 3

3

∴點P₄的坐標為（

- 21 -2 3

3

，0），
綜上所述，點P的坐標分別為P₁（

21 -2 3

3

，0）、P₂（-

3

3

，0）、P₃（-

3

，0）、
P₄（

- 21 -2 3

3

，0）．

點評：本題綜合考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大．