Question

如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）．
（1）要使長方體盒子的底面積為48cm²，那么剪去的正方形的邊長為多少；
（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；
（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由．

Answer 1

分析：（1）可設正方形的邊長為x，可根據矩形的面積公式，用x表示出長方體盒子底面的長和寬，得出方程求出x的值．
（2）同（1）先用x表示出不同側面的長，然后根據矩形的面積將4個側面的面積相加，得出關于側面積和正方形邊長的函數式，然后根據函數的性質和自變量的取值范圍來得出側面積的最大值．
（3）方法同（2）只不過要分兩種情況進行討論，一種是在矩形的長邊剪去2個小長方形（如圖1），一種是在矩形的寬上剪去兩個小長方形（如圖2）．

解答：解：（1）設正方形的邊長為xcm，則（10-2x）（8-2x）=48．
即x²-9x+8=0．
解得x₁=8（不合題意，舍去），x₂=1．
∴剪去的正方形的邊長為1cm．

（2）有側面積最大的情況．
設正方形的邊長為xcm，盒子的側面積為ycm²，
則y與x的函數關系式為：
y=2（10-2x）x+2（8-2x）x．
即y=-8x²+36x．（0＜x＜4）
改寫為y=-8（x-

9

4

）²+

81

2

．
∴當x=2.25時，y最大=40.5．
即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm²．

（3）有側面積最大的情況．
設正方形的邊長為xcm，盒子的側面積為ycm²．
若按圖1所示的方法剪折，則y與x的函數關系式為：
y=2（8-2x）x+2•

10-2x

2

•x．
即y=-6（x-

13

6

）²+

169

6

．
∴當x=

13

6

時，y最大=

169

6

．
若按圖2所示的方法剪折，則y與x的函數關系式為：
y=2（10-2x）x+2•

8-2x

2

•x．
即y=-6（x-

7

3

）²+

98

3

．
∴當x=

7

3

時，y最大=

98

3

．
比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為

7

3

cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為

98

3

cm²．

點評：本題主要考查了矩形的面積的求法，二次函數的應用等知識點，根據面積的計算方法正確的表示出二次函數是解題的關鍵．