Question

【題目】在中，，，以為邊在的另一側作，點為射線上任意一點，在射線上截取，連接、、．

（1）如圖1，當點落在線段的延長線上時，的度數為__________．

（2）如圖2，當點落在線段（不含邊界）上時，與交于點，請問（1）中的結論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，若，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）的最大值為9

【解析】

（1）通過證△ABD≌△ACE，來求∠ADE的角度

（2）如下圖，先證，到得∠1=∠2，在推導出∠DAE的角度，進而得出結論；

（3）利用得到AF、AD、AC之間的關系，當最短時，最短、最長，從而求得CF的長

（1）∵AB=AC，∠BAC=120°

∴∠B=∠ACB=30°

∵∠ACM=∠ACB

∴∠B=∠ACM

又∵BD=CE

∴ABD≌ACE

∴AD=AE，∠EAD=120°

∴∠ADE=30°

（2）（1）中的結論還成立

證明：（如圖所示）．

∵，，

∴．

又∵，∴．

又∵，∴．

∴，．

∴．即．

又∵，∴．

（3）∵，，∴．

∵且，

∴．∴．∴．

∴．∴

∴當最短時，最短、最長．

易得當時，最短、最長，此時．

∴的最大值為9