Question

【題目】如圖，點P在射線AB的上方，且∠PAB=45°，PA=2，點M是射線AB上的動點（點M不與點A重合），現將點P繞點A按順時針方向旋轉60°，到點Q，將點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，連結AQ，PM，PN，作直線QN．
（1）求證：AM=QN；
（2）直線QN與以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓是否存在相切的情況？若存在，請求出此時AM的長，若不存在，請說明理由；
（3）當以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓經過點Q時，直接寫出劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接PQ，

由點P繞點A按順時針方向旋轉60°到點Q，

可得，AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ為等邊三角形，

∴PA=PQ，∠APQ=60°，

由點M繞點P按逆時針方向旋轉60°到點N，

可得，PM=PN，∠MPN=60°，

∴∠APM=∠QPN，

則△APM≌△QPN（SAS），

∴AM=QN

（2）解：存在．

如圖2，

由（1）中的證明可知，△APM≌△QPN，

∴∠AMP=∠QNP，

∵直線QN與以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓相切，

∴∠AMP=∠QNP=90°，

即：PN⊥QN，

在R△APM中，∠PAB=45°，PA=2，

∴AM=

（3）解：如圖3，

由（1）知，△APQ是等邊三角形，

∴PA=PQ，∠APQ=60°，

∵以點P為圓心，以PN的長為半徑的圓經過點Q，

∴PN=PQ=PA，

∵PM=PN，

∴PA=PM，

∵∠PAB=45°，

∴∠APM=90°，

∴∠MPQ=∠APM﹣∠APQ=30°，

∵∠MPN=60°，

∴∠QPN=90°，

∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積是扇形QPN的面積，而此扇形的圓心角∠QPN=90°，半徑為PN=PM=PA=2，

∴劣弧NQ與兩條半徑所圍成的扇形的面積= =π．

【解析】（1）根據旋轉的旋轉判斷出△APQ為等邊三角形，再判斷出∠APM=∠QPN，從而得出△APM≌△QPN即可；（2）由直線和圓相切得出∠AMP=∠QNP=90°，再用勾股定理即可求出結論；（3）先判斷出PA=PQ，再判斷出PQ=PN=PM，進而求出∠QPM=30°，即可求出∠QPN=90°，最后用扇形的面積公式即可．