Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點D（m，m+8）在第二象限，點B（0，n）在y軸正半軸上，作DA⊥x軸，垂足為A，已知OA比OB的值大2，四邊形AOBD的面積為12．

（1）求m和n的值．

（2）如圖2，C為AO的中點，DC與AB相交于點E，AF⊥BD，垂足為F，求證：AF＝DE．

（3）如圖3，點G在射線AD上，且GA＝GB，H為GB延長線上一點，作∠HAN交y軸于點N，且∠HAN＝∠HBO，求NB﹣HB的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析；（3）NB﹣FB＝4（是定值），即當點H在GB的延長線上運動時，NB﹣HB的值不會發生變化．

【解析】

（1）由點D，點B的坐標和四邊形AOBD的面積為12，可列方程組，解方程組即可；

（2）由（1）可知，AD＝OA＝4，OB＝2，并可求出AB＝BD＝，利用SAS可證△DAC≌△AOB，并可得∠AEC＝90°，利用三角形面積公式即可求證；

（3）取OC＝OB，連接AC，根據對稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，證明△ABH≌△CAN，即可得到結論.

解：（1）由題意

解得；

（2）如圖2中，

由（1）可知，A（﹣4，0），B（0，2），D（﹣4，4），

∴AD＝OA＝4，OB＝2，

∴由勾股定理可得：AB＝BD＝，

∵AC＝OC＝2，

∴AC＝OB，

∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，

∴△DAC≌△AOB（SAS），

∴∠ADC＝∠BAO，

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵AF⊥BD，DE⊥AB，

∴S△ADB＝ABAE＝BDAF，

∵AB＝BD，

∴DE＝AF．

（3）解：如圖，取OC＝OB，連接AC，根據對稱性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，

∵AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵G為射線AD上的一點，

∴AG∥y軸，

∴∠GAB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠EBA，

∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，

即∠ABG＝∠ACN，

∵∠GAN＝∠GBO，

∴∠AGB＝∠ANC，

在△ABG與△ACN中，

，

∴△ABH≌△ACN（AAS），

∴BF＝CN，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即當點H在GB的延長線上運動時，NB﹣HB的值不會發生變化．