Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD=8 cm，點P在CD邊上，AP=AB， PC=4cm，連結PB．點M從點P出發，沿PA方向勻速運動（點M與點P、A不重合）；點N同時從點B出發，沿線段AB的延長線勻速運動，連結MN交PB于點F．

（1）求AB的長；

（2）若點M的運動速度為1cm/s，點N的運動速度為2cm/s，△AMN的面積為S，點M和點N的運動時間為，求S與的函數關系式，并求S的最大值；

（3）若點M和點N的運動速度相等，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在運動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）時，S取得最大值為45．（3）點M、N在運動過程中，線段EF的長度不變，長度為．

【解析】試題分析：（1）設AB=x，根據折疊可得AP=CD=x，DP=CD-CP=x-4，利用勾股定理，在Rt△ADP中，AD2+DP2=AP2，即82+（x-4）2=x2，即可解答；（2）過點M作MG⊥AN于點G，則∠AGM=∠D＝90°，所以∠APD=∠MAG，則Rt△APD∽Rt△MAG，所以，即，可得出， 又因為，所以 ，則當時，S取得最大值為45；（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據MH⊥PQ，得出HQ= PQ，根據∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，最后代入HF=PB即可得出線段EF的長度不變；

試題解析：

（1）設AB= ，則AP= ，DP= ，

在Rt△ADP中， 由勾股定理得：

，

解得： ，

∴AB =10．

（2）過點M作MG⊥AN于點G，則∠AGM=∠D＝90°，

∵DC∥AB，

∴∠APD=∠MAG，

∴Rt△APD∽Rt△MAG，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴當時，S取得最大值為45．

（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，

∴∠APB=∠MQP，

∴MP=MQ，

∵ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ，

∵BN=PM，PM=MQ，

∴BN=QM，

∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

∵，

∴△MFQ≌△NFB，

∴QF=BF，

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

在Rt△PBC中，

∵PC=4，BC=8，

∴，

∴EF=PB=，

∴點M、N在運動過程中，線段EF的長度不變，長度為．