Question

【題目】小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對頂角，，連接，，點F是線段上一點．

探究發現：

（1）當點F為線段的中點時，連接（如圖（2），小明經過探究，得到結論：．你認為此結論是否成立？_________．（填“是”或“否”）

拓展延伸：

（2）將（1）中的條件與結論互換，即：若，則點F為線段的中點．請判斷此結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

問題解決：

（3）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）結論成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據此進一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結論成立即可；

（2）根據垂直的性質可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過證明得出，據此加以分析即可證明結論；

（3）如圖，設G為的中點，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續通過勾股定理求出，最后進一步證明，再根據相似三角形性質得出，從而求出，最后進一步分析求解即可.

（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，

∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，

∵∠ACB=∠ECD，

∴∠A=∠E，

∵AB=BD，

∴∠A=∠ADB，

在中，

∵F是斜邊CE的中點，

∴FD=FE=FC，

∴∠E=∠FDE，

∵∠A=∠E，

∴∠ADB=∠FDE，

∵∠FDE+∠FDC=90°，

∴∠ADB+∠FDC=90°，

即∠FDB=90°，

∴BD⊥DF，結論成立，

故答案為：是；

（2）結論成立，理由如下：

∵，

∴90°，90°，

∴，

∵，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

又90°，90°，，

∴，

∴．

∴．

∴F為的中點；

（3）如圖，設G為的中點，連接GD，由（1）可知，

∴，

又∵，

在中，，

∴，

在中，，

在與中，

∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，

∴，

∴，

∴，

∴．