Question

關于x的方程(1-2k)x2-2(k+1)x-

1

2

k=0有實根．
（1）若方程只有一個實根，求出這個根；
（2）若方程有兩個不相等的實根x₁，x₂，且

1

x1

+

1

x2

=-6，求k的值．

Answer 1

分析：（1）方程只有一個實根，則1-2k=0，即k=

1

2

，于是原方程變形一元一次方程-2（

1

2

+1）x-

1

2

×

1

2

=0，然后解此方程即可；
（2）由于方程有兩個不相等的實根，△＞0，得到k＞-

2

5

，然后根據根與系數的關系得到x₁+x₂=-

-2(k+1)

1-2k

，x₁•x₂=

- 1 2 k

1-2k

，再有

1

x1

+

1

x2

=-6變形為

x1+x2

x1x2

=-6，即可得到關于k的方程，解方程即可．

解答：解：（1）當1-2k=0，即k=

1

2

，原方程變形一元一次方程-2（

1

2

+1）x-

1

2

×

1

2

=0，方程只有一個實根，解此方程得x=-

1

12

；
（2）當1-2k≠0，即k≠

1

2

，原方程為一元二次方程，
∵方程有兩個不相等的實根，
∴△＞0，即4（k+1）²-4（1-2k）×（-

1

2

k）＞0，
∴k＞-

2

5

，
∵x₁+x₂=-

-2(k+1)

1-2k

，x₁•x₂=

- 1 2 k

1-2k

，
而

1

x1

+

1

x2

=-6，即

x1+x2

x1x2

=-6，
∴

2(k+1)

- 1 2 k

=-6，解得k=2，
∴k的值為2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程根與系數的關系．