Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB//x軸，如圖一，求t的值；
（2）當t=3時，坐標平面內有一點M（不與A重合） ， 使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標；
（3）設點A關于x軸的對稱點為 ,連接 ，在點P運動的過程中，∠ 的度數是否會發生變化，若不變，請求出∠ 的度數，若改變，請說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：過點B作BC⊥x軸于點C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB//x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4

（2）解：點M的坐標為（4，7）, （6，-4）, （10，-1）

（3）解：

∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點A（0，4），點P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴點

∴過點 作 軸于點 ，

為等腰直角三角形.

∴∠ =45°

【解析】 （1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖1所示．根據題意首先判斷出四邊形ABCO為長方形，然后根據矩形的性質得出AO=BC，根據等腰直角三角形的性質知AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，從而得出∠OAP=45°，進而判斷出△AOP為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得出OA=OP=4，然后根據時間=路程除以速度算出結果；
（2）當t=3時OP=3，又OA=4，根據勾股定理得出AP的長，根據等腰直角三角形的意義得出AP=BP，再根據勾股定理得出AB的長，然后分類討論當△MPB和△ABP全等時，易得點M的坐標為（4，7）, （10，-1）；當△MPB與△APB全等時，此時點M與點A關于點P 對稱易得點M的坐標為（6，-4）, 綜上所述從而得出答案；
（3） 根據等腰直角三角形的性質及同角的余角相等得出∠PAO=∠BPC，然后利用SAS判斷出△PAO≌△BPC，根據全等三角形對應邊相等得出AO=PC，BC=PO，根據A,P兩點的坐標表示出PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t，從而得出b點的坐標，過點 B 作 B H ⊥ y 軸于點 H ，BH=OC=4+t=A′H,判斷出△ A ′ H B 為等腰直角三角形，得出結論。
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)．