Question

某地計劃開鑿一條單向行駛（從正中通過）的隧道，其截面是拋物線拱形ACB，而且能通過最寬3米，最高3.5米的廂式貨車．按規定，機動車通過隧道時車身距隧道壁的水平距離和鉛直距離最小都是0.5米．為設計這條能使上述廂式貨車恰好安全通過的隧道，在圖紙上以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線拱形的表達式、隧道的跨度AB和拱高OC．

Answer 1

分析：根據建立的坐標系可設表達式為y=ax²+h，因為圖象過（1.5，4）和（2，3.5），所以可求解析式，再根據解析式求解．

解答：解：設拋物線的表達式為y=ax²+h，
∵圖象經過點（1.5，4）和（2，3.5），
∴

4=2.25a+h 3.5=4a+h

，
解之得

a=- 2 7 h= 65 14

．
故拋物線的表達式為y=-

2

7

x²+

65

14

，
拱高OC即是當x=0時y的值為

65

14

米．
當y=0時有-

2

7

x²+

65

14

=0
解之得x₁=

65

2

，x₂=-

65

2

．
即是A、B兩點的橫坐標，
故可得跨度AB=

65

米．

點評：通過建模把實際問題轉化為數學問題是運用數學知識解決實際問題的常用手段，重在根據題意建立適當的數學模型．