Question

（2012•雙柏縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

2 3

x

(x＞0)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，⊙P運(yùn)動(dòng)到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B、C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時(shí)，求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）四邊形OKPA是正方形．當(dāng)⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切時(shí)，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結(jié)論；
（2）連接PB，設(shè)點(diǎn)P（x，

2 3

x

），過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質(zhì)得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

，利用sin∠PBG=

PG

PB

，列方程求x即可．

解答：（1）四邊形OKPA是正方形．
證明：∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，
∴PA⊥OA，PK⊥OK，
∴∠PAO=∠OKP=90°，
又∵∠AOK=90°，
∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°，
∴四邊形OKPA是矩形，
又∵OA=OK，
∴四邊形OKPA是正方形；

 （2）解：連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，則其縱坐標(biāo)為

2 3

x

，
過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，
∵四邊形ABCP為菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半徑），
∴△PBC為等邊三角形，
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

2 3

x

，
sin∠PBG=

PG

PB

，即

2 3 x

x

=

3

2

．
解得：x=±2（負(fù)值舍去），
∴PG=

3

，PA=BC=2，
易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3，
∴A（0，

3

），B（1，0）C（3，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用以及菱形、圓的性質(zhì)和正方形的判定等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合解題得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．