Question

（2011•紅橋區一模）已知函數y₁=x，y₂=

1

2

x²+

1

2

．
（Ⅰ）當自變量x=1時，分別計算函數y₁、y₂的值；
（Ⅱ）說明：對于自變量x的同一個值，均有y₁≤y₂成立；
（Ⅲ）是否存在二次函數y₃=ax²+bx+c同時滿足下列兩個條件：
①當x=-1時，函數值y₁≤y₃≤y₂； ②對于任意的實數x的同一個值，都有y₁≤y₃≤y₂，
若存在，求出滿足條件的函數y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）自己把x=1分別代入兩個函數的解析式中計算即可求解；
（2）首先利用y₁-y₂，然后利用配方法證明y₁-y₂≤0即可求解；
（3）首先假設存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，由于當x=-1時，y₃=0，而y₁=-1，y₂=1，由此得到a-b+c=0，又當x=1時，1≤a+b+c≤1，由此得到a+b+c=1，所以b=a+c=

1

2

，進一步得到y3=ax2+(a+c)x+c，當x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c，若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0，由此可以分別得到兩個不等式組，解不等式組并且討論即可解決問題．

解答：解：（1）當x=1時，y₁=1，y₂=1；

（2）y1-y2=x-(

1

2

x2+

1

2

)
=-

1

2

x2+x-

1

2

=-

1

2

(x2-2x+1)
=-

1

2

(x-1)2≤0，
∴y₁≤y₂；

（3）假設存在y3=ax2+bx+c，使得y₁≤y₃≤y₂成立，
當x=-1時，y₃=0，y₁=-1，y₂=1，
∴a-b+c=0，
當x=1時，1≤a+b+c≤1，
∴a+b+c=1，
∴b=a+c=

1

2

，
∴y3=ax2+(a+c)x+c，
若x≤ax²+（a+c）x+c，即0≤ax²+（a+c-1）x+c
得

a＞0 (a+c-1)2-4ac≤0

，即

a＞0 (a-c)2-2(a+c)+1≤0

①
若ax2+(a+c)x+c≤

1

2

x2+

1

2

，即(a-

1

2

)x2+(a+c)x+(c-

1

2

)≤0
得

a＜ 1 2 (a+c)2-4(a- 1 2 )(c- 1 2 )≤0

，即

a＜ 1 2 (a-c)2+2(a+c)-1≤0

由不等式①、②得：0＜a＜

1

2

，（a-c）²≤0，a=c=

1

4

，
∴滿足條件的函數解析式為y3=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．

點評：此題考查了二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有求二次函數的函數值和函數值的大小的比較．在求有關開放性問題時要注意分析題意分情況討論結果．