Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中點，AD⊥BM于E，交BC于D點．
（1）求證：BD=2CD；
（2）若AM=

1

n

AC，其他條件不變，猜想BD與CD的倍數關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：作CG⊥AC交AD的延長線于G，易證△ABE≌△CAG得到AM=CG，△EBD∽△GCD，因而求

BD

CD

的值的問題可以轉化為求

BE

CG

，根據相似三角形的性質就可求解．

解答：解：①作CG⊥AD交AD的延長線于G，證△ABE≌△CAG．
∴AE=CG，易證△ABM∽△EBA，則EB：AE=AB：AM=2：1，
∴△EBD∽△GCD，
∴BD：DC=EB：CG=EB：AE=2：1，
∴BD=2CD．

②作CG⊥AD交AD的延長線于G，易證△ABE≌△CAG，
∴AE=CG，設等腰直角三角形ABC的邊AB=AC=2a，則AM=MC=a．
在Rt△ABM中，根據勾股定理得到BM=

5

a，AE=CG=

AB•AM

BM

=

2 5

5

a，
∵BM⊥AD，CG⊥AD，
∴△AEM∽△AGC．
∴

EM

CG

=

AM

AC

=

1

n

，則EM=

1

n

•CG=

1

n

•

2 5

5

a，
∴BE=BM-EM=

5

a-

1

n

•

2 5

5

a=

5n-2

5n

5

a，
∴

BD

DC

=

BE

GC

=

5n-2

2n

．

點評：解決本題的關鍵是根據相似三角形的性質轉化為另外兩個線段的比的問題．