Question

如圖①所示，直線l₁：y=3x+3與x軸交于B點，與直線l₂交于y軸上一點A，且l₂與x軸的交點為C（1，0）．
（1）求證：∠ABC=∠ACB；
（2）如圖②所示，過x軸上一點D（-3，0）作DE⊥AC于E，DE交y軸于F點，交AB于G點，求G點的坐標．
（3）如圖③所示，將△ABC沿x軸向左平移，AC邊與y軸交于一點P（P不同于A、C兩點），過P點作一直線與AB的延長線交于Q點，與x軸交于M點，且CP=BQ，在△ABC平移的過程中，線段OM的長度是否發生變化？若不變，請求出它的長度；若變化，確定其變化范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出點B的坐標，然后根據點B、點C的坐標求出OB=OC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得到AB=AC，然后根據等邊對等角的性質即可證明；
（2）根據等角的余角相等求出∠FDO=∠BAO，然后利用“角邊角”證明△DOF和△AOB全等，根據全等三角形對應邊相等可得OF=OB，從而求出點F的坐標，再根據待定系數法求直線解析式求出直線DF的解析式，與直線l₁的解析式聯立求解即可得到點G的坐標；
（3）過點P作PN∥AB交BC于點N，根據平行線的性質可得∠MPN=∠Q，然后證明PN=BQ，再利用“角角邊”證明△QBM和△PNM全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=BM，再根據等腰三角形三線合一的性質可得ON=OC，從而證明OM=

1

2

BC，是定值．

解答：證明：（1）對于y=3x+3，令y=0，得3x+3=0，x=-1，
∴B（-1，0）．
∵C（1，0），
∴OB=OC，
∴AO垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB；

解：（2）∵AO⊥BC，DE⊥AC，
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
對于y=3x+3，當x=0時，y=3，
∴A（0，3），
又∵D（-3，0），
∴DO=AO．
∵∠AOB=∠DOF=90°，
∴△DOF≌△AOB（ASA），
∴OF=OB，
∴F（0，1）．
設直線DE的解析式為y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=1

，
解得

k= 1 3 b=1

，
∴y=

1

3

x+1，
聯立

y= 1 3 x+1 y=3x+3

，
解得

x=- 3 4 y= 3 4

，
所以，點G（-

3

4

，

3

4

）；

解：（3）OM的長度不會發生變化，過P點作PN∥AB交BC于N點，
則∠1=∠Q，∠ABC=∠PNC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠PNC=∠PCB，
∴PN=PC，
∵CP=BQ，
∴PN=BQ，
∵∠2=∠3，
∴△QBM≌△PNM（AAS），
∴MN=BM．
∵PC=PN，PO⊥CN，
∴ON=OC，
∵BM+MN+ON+OC=BC，
∴OM=MN+ON=

1

2

BC=1．

點評：本題綜合考查了一次函數，待定系數法求直線解析式，兩直線的交點的求解，全等三角形的判定與性質，以及等角對等邊，等邊對等角的性質，綜合性較強，關系比較復雜，但難度不大，只要仔細分析，認真求解，便不難解答．