Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．（1）求：經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABDC的面積；
（3）試判斷△BCD與△COA是否相似？若相似寫出證明過程；若不相似，請(qǐng)說明理由．
注：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

（1）由題意，得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解之，得

a=-1 b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），
設(shè)其對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，
∵S_△AOC=

1

2

|AO|•|OC|，
=

1

2

×1×3，
=

3

2

，（5分）
S_梯形OEDC=

1

2

（|DC|+|DE|）×|OE|，
=

1

2

（3+4）×1，
=

7

2

，
S_△DEB=

1

2

|EB|•|DE|，
=

1

2

×2×4，
=4，（7分）
S_{四邊形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（3）△DCB與△AOC相似，（9分）
證明：過點(diǎn)D作y軸的垂線，垂足為F，
∵D（1，4），F(xiàn)（0，4），
∴Rt△DFC中，DC=

2

，且∠DCF=45°，
在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3

2

，
∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似，

DC

AO

=

BC

CO

=

2

1

，
∴△DCB∽△AOC．