Question

【題目】二次函數y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關于原點對稱的拋物線y′，再將得到的對稱拋物線y′向上平移m（m＞0）個單位，得到新的拋物線ym，我們稱ym叫做二次函數y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m階變換．

（1）已知：二次函數y＝2（x+2）2+1，它的頂點關于原點的對稱點為　 　，這個拋物線的2階變換的表達式為　 　．

（2）若二次函數M的6階變換的關系式為y6′＝（x﹣1）2+5．

①二次函數M的函數表達式為　 　．

②若二次函數M的頂點為點A，與x軸相交的兩個交點中左側交點為點B，在拋物線y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在點P，使點P與直線AB的距離最短，若存在，求出此時點P的坐標．

（3）拋物線y＝﹣3x2﹣6x+1的頂點為點A，與y軸交于點B，該拋物線的m階變換的頂點為點C．若△ABC是以AB為腰的等腰三角形,請直按寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）存在，點P（，），（3）8+或8﹣或8或2．

【解析】

（1）原二次函數的頂點為（-2，1），則頂點關于原點的對稱點為（2，-1），即可求解；（2）①6階變換的關系式對應的函數頂點為：（1，-1），則函數M的頂點為：（-1，1），即可求解；②DP =PH=（x2-2x+6-x-2）=（x2-3x+4），即可求解；

（3）點A（-1，4）、點B（0，1），拋物線的m階變換的函數表達式為：y=3（x-1）2-4+m，故點C（1，m-4），即可求解．

解：（1）原二次函數的頂點為（﹣2，1），則頂點關于原點的對稱點為（2，﹣1），

則這個拋物線的2階變換的表達式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，

故答案為：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；

（2）①6階變換的關系式對應的函數頂點為：（1，﹣1），則函數M的頂點為：（﹣1，1），

則其表達式為：y＝﹣（x+1）2+1，

故答案為：y＝﹣（x+1）2+1；

②存在，理由：

y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，則x＝﹣2或0，

故點B（﹣2，0），而點A（﹣1，1），

將點A、B的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：，解得：，

故直線AB的函數表達式為：y＝x+2，

y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，

如下圖，過點P作PD⊥AB交于點D，故點P作y軸的平行線交AB于點H，

∵直線AB的傾斜角為45°，則DP＝PH，

設點P（x，x2﹣2x+6），則點H（x，x+2），

DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），

∵＞0，故DP有最小值，此時x＝，

故點P（，）；

（3）拋物線y＝﹣3x2﹣6x+1的頂點為點A，與y軸交于點B，

則點A（﹣1，4）、點B（0，1），

拋物線的m階變換的函數表達式為：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，

故點C（1，m﹣4），

則AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，

當AB＝AC時，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；

當AB＝BC時，同理可得：m＝8或2，

故m的值為：8+或8﹣或8或2．