Question

如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數y=

1

2x

的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸作垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．
（1）點E坐標是

（a，1-a）

，點F坐標是

（1-b，b）

（用含a的代數式表示點E的坐標，用含b的代數式表示點F的坐標）
（2）求△OEF的面積（結果用含a、b的代數式表示）；
（3）△AOF與△BOE是否相似？若相似，請證明；若不相似，請簡要說明理由．
（4）當點P在曲線y=

1

2x

上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內角中，大小始終保持不變的那個角，并求出此角的大小，同時證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由PM與x軸垂直，E在PM上，得到E的橫坐標與P相同，同理F的縱坐標與P相同，求出直線AB的解析式，將E的橫坐標及F的縱坐標分別代入，即可確定出E與F的坐標；
（2）三角形EOF的面積=三角形AOB的面積-三角形BOF的面積-三角形AOE的面積，表示即可；
（3）根據題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應成比例即可；
（4）應用三角形內角和定理及內外角關系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根據題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點E的坐標是（a，1-a），點F的坐標是（1-b，b）；
故答案為：（a，1-a）；（1-b，b）；

（2）∵OA=OB=1，NF=1-b，EM=1-a，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×（1-a）-

1

2

×1×（1-b）=

a+b-1

2

；

（3）△AOF和△BEO一定相似，理由為：
證明：∵OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點P是函數y=

1

2x

圖象上任意一點，
∴b=-

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a•

2

b=1，
又∵OB•OA=1，
∴AF•BE=OB•OA，即

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO；

（4）當點P在曲線上移動時，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，外角性質，以及反比例函數的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．