Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中點A、B在坐標軸上，其中A（0，a），B（b，0），滿足|a﹣3|+＝0．

（1）求點A、B的坐標；

（2）將AB平移到CD，點A對應點C（﹣2，m），若△ABC面積為13，連接CO，求點C的坐標；

（3）在（2）的條件下，求證：∠AOC＝∠OAB+∠OCD；

（4）如圖2，若AB∥CD，點C、D也在坐標軸上，點F為線段AB上一動點（不包含A、B兩點），連接OF，FP平分∠BFO，∠BCP＝2∠PCD，試證明：∠COF＝3∠P﹣∠OFP（提示：可直接利用（3）的結論）．

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）C（﹣2，﹣2）；（3）詳見解析；（4）詳見解析．

【解析】

（1）利用非負數的性質求解即可．

（2）如圖1中，分別過點B，A作x軸，y軸的垂線交于點M，過點C作CN⊥AM于N．根據S△ABC＝S四邊形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN構建方程求解即可．

（3）利用平行線的性質，三角形的外角的性質求解即可．

（4）如圖2中，延長AB交CP的延長線于M．首先證明∠BCD＝3（∠CPF﹣∠OFP），再利用結論∠FOC＝∠OFB+∠BCD，求解即可．

解：（1）∵|a﹣3|+＝0，

又∵|a﹣3|≥0，≥0，

∴a＝3，b＝4，

∴A（0，3），B（4，0）．

（2）如圖1中，分別過點B，A作x軸，y軸的垂線交于點M，過點C作CN⊥AM于N．

∵S△ABC＝S四邊形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN，

∴13＝（3+3﹣m）（4+2）﹣×2×（3﹣m）﹣×3×4，

解得：m＝﹣2，

∴C（﹣2，﹣2）．

（3）如圖1中，設CD交y軸于T．

∵AB∥CD，

∠BAO＝∠ATO，

∵∠AOC＝∠OCD+∠CTO，

∴∠AOC＝∠OCD+∠BAO．

（4）如圖2中，延長AB交CP的延長線于M．

∵AM∥CD，

∴∠DCM＝∠M，

∵∠BCP＝2∠PCD，

∴∠BCD＝3∠DCM＝3∠M，

∵∠M＝∠FPC﹣∠MFP，∠MFP＝∠OFP，

∴∠BCD＝3（∠CPF﹣∠OFP），

∵∠FOC＝∠OFB+∠BCD，

∴∠FOC＝2∠OFP+3∠CPF﹣3∠OFP，

∴∠FOC＝3∠CPF﹣∠OFP．