Question

12、已知△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的關系為

∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．

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Answer 1

分析：設過B的直線交AC于D．因為沒有指明是哪兩個邊相等，故應該分情況進行分析，從而求解．

解答：解：設過B的直線交AC于D．
∵BC≠BD（如果他們相等的話，則∠BAC比∠C還小，與題設矛盾），
∴BD=CD．
①若AB=BD，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C．
∵∠A+∠C+∠ABC=2∠C+∠C+∠ABC=180°，
∴∠ABC+3∠C=180°，
∴∠ABC=180°-3∠C．
②若BD=AD．
∵BD=AD，BD=CD，
∴DB=DC=DA，
∴∠ABC=90°，
∵∠C是最小的角，
∴∠C是小于45°的任意角．
故答案為：∠ABC=180°-3∠C或∠ABC=90°，∠C是小于45°的任意角．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質，三角形外角的性質及三角形內角和定理的綜合運用．