Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE于點P．
（1）求證：AF=BE；
（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
又∵AD=DC，
∴BA=AD（等量代換），
又∵∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性質），
∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代換），
在△BAE和△ADF中，

AE=DF ∠BAE=∠ADF BA=AD

，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（對應邊相等）；

（2）猜想∠BPF=120°．
∵由（1）知△BAE≌△ADF（已證），
∴∠ABE=∠DAF（對應角相等）．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAP+∠EAF=∠BAE（等量代換）．
∵AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°（已知），
∴∠BPF=∠BAE=180°-60°=120°（等量代換）．