Question

【題目】已知拋物線 ：y＝ax2 過點（2，2）

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖，△ABC 的三個頂點都在拋物線 上，且邊 AC 所在的直線解析式為y＝x+b，若 AC 邊上的中線 BD 平行于 y 軸，求的值；

(3)如圖，點 P 的坐標為（0，2），點 Q 為拋物線上 上一動點，以 PQ 為直徑作⊙M，直線 y＝t 與⊙M 相交于 H、K 兩點是否存在實數 t，使得 HK 的長度為定值？若存在，求出 HK 的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y= ;(2)16;(3)見解析.

【解析】

（1）把點（2，2）坐標代入 y＝ax2 即可求解；

（2）把 y＝x+b 和 y＝x2 得：x2﹣2x﹣2b＝0，設 A、C 兩點的坐標為（x1，y1）、（x2，y2），則：x1+x2＝2，x1x2＝﹣2b，可以求出點 D坐標、B坐標，即可求解；；

（3）設點 Q坐標為（a，a2），點 M的坐標為（，a2+1），圓的半徑為 r，則 r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，點 M 到直線 y＝t 的距離為 d， 用 HK＝2＝2，當＝0時，HK為常數，t＝，HK＝．

（1）把點（2，2）坐標代入y＝ax2，解得：a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2；

（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，

設A、C 兩點的坐標為（x1，y1）、（x2，y2），則：x1+x2＝2，x1x2＝﹣2b，

點D坐標為（，），即D（1，﹣b），B坐標為（1，），

AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8，

BD＝+b，

∴＝16；

(3)設點Q坐標為（a，a2），

點P的坐標為（0，2），由 P、Q坐標得點M的坐標為（，a2+1），

設圓的半徑為 r，由P（0，2）、M 兩點坐標可得r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，

設點M到直線y＝t的距離為d，則d2＝（a2+1﹣t）＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，

則 HK＝2＝2，

當＝0 時，HK為常數，t＝，

HK＝．