Question

【題目】如圖，ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，將ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，折痕交CD邊于點E．
（1）求證：四邊形BCED′是菱形；
（2）若點P時直線l上的一個動點，請計算PD′+PB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵將ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，

∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四邊形DAD′E是平行四邊形，

∴DE=AD′，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴CE=D′B，CE∥D′B，

∴四邊形BCED′是平行四邊形；

∵AD=AD′，

∴DAD′E是菱形

（2）

證明：∵四邊形DAD′E是菱形，

∴D與D′關于AE對稱，

連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，

過D作DG⊥BA于G，

∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，

∵AD=1，

∴AG= ，DG= ，

∴BG= ，

∴BD= = ，

∴PD′+PB的最小值為 ．

【解析】（1）利用翻折變換的性質以及平行線的性質得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進而求出四邊形BCED′是平行四邊形，根據折疊的性質得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到結論；（2）由四邊形DAD′E是平行四邊形，得到DAD′E是菱形，推出D與D′關于AE對稱，連接BD交AE于P，則BD的長即為PD′+PB的最小值，過D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG= ，DG= ，根據勾股定理即可得到結論．本題考查了平行四邊形的性質，最短距離問題，勾股定理，菱形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行四邊形的性質(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)，還要掌握菱形的判定方法(任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形)的相關知識才是答題的關鍵．