Question

如圖1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=

3

4

，點P在線段AB上運動，點Q、R分別在線段BC、AC上，且使得四邊形APQR是矩形．設AP的長為x，矩形APQR的面積為y，已知y是x的函數，其圖象是過點（12，36）的拋物線的一部分（如圖2所示）．

（1）求AB的長；
（2）當AP為何值時，矩形APQR的面積最大，并求出最大值．
為了解決這個問題，孔明和研究性學習小組的同學作了如下討論：
張明：圖2中的拋物線過點（12，36）在圖1中表示什么呢？
李明：因為拋物線上的點（x，y）是表示圖1中AP的長與矩形APQR面積的對應關系，那么，（12，36）表示當AP=12時，AP的長與矩形APQR面積的對應關系．
趙明：對，我知道縱坐標36是什么意思了！
孔明：哦，這樣就可以算出AB，這個問題就可以解決了．請根據上述對話，幫他們解答這個問題．

Answer 1

分析：（1）由于y是x的函數且過（12，36）點，即AP=12時，矩形的面積為36，可求出PQ的長，進而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根據AB=AP+BP即可求出AB的長．
（2）與（1）類似，可先用AP表示出BP的長，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的長；根據矩形的面積計算方法即可得出關于y，x的函數關系式．然后可根據得出的函數的性質求出矩形的最大面積以及此時對應的x的值．

解答：解：（1）當AP=12時，AP•PQ=36，
∴PQ=3，
又在Rt△BPQ中，tanB=

3

4

，
∴

PQ

PB

=

3

4

∴PB=4．
∴AB=16．

（2）若AP=x，則PB=16-x，PQ=

3

4

（16-x），
∴y=

3

4

（16-x）x，
整理得y=-

3

4

（x-8）²+48．
∴當x=8時，y_最大值=48．

點評：本題結合三角形、矩形的相關知識考查了二次函數的應用，用數形結合的思路求得相應的函數關系式是解題的關鍵．