Question

某數學興趣小組，利用樹影測量樹高，如圖（1），已測出樹AB的影長AC為12米，并測出此時太陽光線與地面成夾角．
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變．求樹的最大影長．（用圖（2）解答）

Answer 1

（1）（2）

（1）AB=ACtan30°=12×  = （米）．
答：樹高約為 米．
（2）如圖（2），B₁N=AN=AB₁sin45°=× =（米）．
NC₁=NB₁tan60°= × = （米）．
AC₁=AN+NC₁= + ．
當樹與地面成60°角時影長最大AC₂（或樹與光線垂直時影長最大或光線與半徑為AB的⊙A相切時影長最大）
AC₂=2AB₂= ；
（1）在直角△ABC中，已知∠ACB=30°，AC=12米．利用三角函數即可求得AB的長；
（2）在△AB₁C₁中，已知AB₁的長，即AB的長，∠B₁AC₁=45°，∠B₁C₁A=30°．過B₁作AC₁的垂線，在直角△AB₁N中根據三角函數求得AN，BN；再在直角△B₁NC₁中，根據三角函數求得NC₁的長，再根據當樹與地面成60°角時影長最大，根據三角函數即可求解．