Question

【題目】如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC．拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t．

①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時點P的坐標．

②是否存在一點P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；（2） ①（-1，4）或（-2，3）；②．

【解析】

試題分析：（1）先求出A、B、C的坐標，再運用待定系數法就可以直接求出二次函數的解析式；

（2）①由（1）的解析式可以求出拋物線的對稱軸，分類討論當∠CEF=90°時，當∠CFE=90°時，根據相似三角形的性質就可以求出P點的坐標；

②先運用待定系數法求出直線CD的解析式，設PM與CD的交點為N，根據CD的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面積，運用頂點式就可以求出結論．

試題解析：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（-3，0）．

代入解析式為，解得：．

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=-x2-2x+3，

∴對稱軸l=-=-1，

∴E點的坐標為（-1，0）．

如圖，當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（-1，4）；

當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．

∴，

∴MP=3EM．

∵P的橫坐標為t，

∴P（t，-t2-2t+3）．

∵P在第二象限，

∴PM=-t2-2t+3，EM=-1-t，

∴-t2-2t+3=-（t-1）（t+3），

解得：t1=-2，t2=-3（因為P與C重合，所以舍去），

∴t=-2時，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3．

∴P（-2，3）．

∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（-1，4）或（-2，3）；

②設直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線CD的解析式為：y=x+1．

設PM與CD的交點為N，則點N的坐標為（t，t+1），

∴NM=t+1．

∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2．

∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，

∴S△PCD=PNCM+PNOM

=PN（CM+OM）

=PNOC

=×3（-t2-t+2）

=-（t+）2+，

∴當t=-時，S△PCD的最大值為．