Question

25、已知：如圖，點D是△ABC的邊AC上的一點，過點D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F為垂足，再過點D作DG∥AB，交BC于點G，且DE=DF．
（1）求證：DG=BG；
（2）求證：BD垂直平分EF．

Answer 1

分析：（1）連接BD，先根據DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF可知∠ABD=∠DBC，再根據DG∥AB即可得出∠ABD=∠BDG，進而可得出∴∠BDG=∠DBC，由等角對等邊可知DG=BG；
（2）先根據（1）中∠ABD=∠DBC可知∠EDB=∠FDB，由全等三角形的判定定理可得出△BDE≌△BDF，再根據全等三角形的性質可得出BE=BF，DE=DF，故可得出BD垂直平分EF．

解答：解：（1）連接BD．
∵DE⊥AB，DF⊥BC且DE=DF，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵DG∥AB，
∴∠ABD=∠BDG，
∴∠BDG=∠DBC，
∴DG=BG；
（2）由（1）∠ABD=∠DBC可知，∠EDB=∠FDB，
在△BDE與△BDF中，
∵∠ABD=∠DBC，BD=BD，∠EDB=∠FDB，
∴△BDE≌△BDF，
∴BE=BF，DE=DF，
∴BD垂直平分EF．

點評：本題考查的是角平分線及線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解答此題的關鍵．