Question

（本題12分）如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點， ∠AOB= 110°，
∠BOC= ，△BOC ≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD。
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當＝150°時，試判斷△AOD 的形狀，并說明理由；
（3）探究：當為多少度時，△AOD是等腰三角形。
 

Answer 1

（1）證明：∵△BOC≌△ADC ，
∴OC="DC" 。——1分
∵∠OCD= ，
∴△OCD是等邊三角形。——1分
（2）解：△AOD是Rt△ 。 ——1分
理由如下：
∵△OCD是等邊三角形 ，
    ∴∠ODC= ，
∵△BOC≌△ADC ，∠α= ，
∴∠ADC=∠BOC=∠α= ，
∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=－= ，
∴△AOD是Rt△ 。——2分
（3）解：
∵△OCD是等邊三角形 ，
∴∠COD=∠ODC=。
  ∵∠AOB= ，∠ADC=∠BOC=α ，
∴∠AOD=－∠AOB－∠BOC－∠COD=－－α－=－α ，
∠ADO=∠ADC－∠ODC=α－ ，
∴∠OAD=－∠AOD－∠ADO=－（－α）－（α－）= 。
①當∠AOD=∠ADO時，
－α=α－ ，   ∴α= 。——2分
②當∠AOD=∠OAD時，
－α= ，       ∴α= 。——2分
③當∠ADO=∠OAD時，
α－= ，        ∴α= 。——2分
綜上所述：當α=或或時，△AOD是等腰三角形。——1分

解析