Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、F、G，連接ED、DG．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，求GC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：四邊形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四邊形EBGD是菱形

（2）解：作DH⊥BC于H，

∵四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，

∴∠ABC=30°，∠DGH=30°，

∴DH=1，GH= ，

∵∠C=45°，

∴DH=CH=1，

∴CG=GH+CH=1+ ．

【解析】（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只要證明BE=ED=DG=GB即可．（2）作DH⊥BC于H，由四邊形EBGD為菱形ED=DG=2，求出GH，CH即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可以解答此題．